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<!DOCTYPE html>

<title>Triangle rectangle</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Triangle rectangle</span></h1>

</header>

</div>

<p>En <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne" title="Géométrie euclidienne">géométrie euclidienne</a>, un <b>triangle rectangle</b> est un <a href="Triangle" title="Triangle">triangle</a> dont l'un des <a href="Angle" title="Angle">angles</a> est <a href="Angle_droit" title="Angle droit">droit</a>. Les deux autres angles sont alors <a href="Angles_compl%C3%A9mentaires" title="Angles complémentaires">complémentaires</a>, de mesure strictement inférieure<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. On nomme alors <a href="Hypot%C3%A9nuse" title="Hypoténuse">hypoténuse</a> le côté opposé à l'angle droit. Les deux autres côtés, adjacents à l’angle droit, sont appelés <a href="Cath%C3%A8te" title="Cathète">cathètes</a>.

</p><p>L’hypoténuse est alors le plus grand côté du triangle, et sa longueur est reliée à celles des deux autres côtés par le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore" title="Théorème de Pythagore">théorème de Pythagore</a>. Cette relation est même caractéristique des triangles rectangles. Dans le cas des triangles à côtés entiers, elle mène à la définition des <a href="Triplet_pythagoricien" title="Triplet pythagoricien">triplets pythagoriciens</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés_caractéristiques"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s_caract.C3.A9ristiques"></span>Propriétés caractéristiques</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème_de_Pythagore"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_Pythagore"></span>Théorème de Pythagore</h3></div>

<p>Le théorème de Pythagore précise que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs des côtés de l’angle droit, autrement dit, si un triangle <i>ABC</i> est rectangle en <i>C</i>, alors <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30bdd7976530b8d669624657257f156adc3c18a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:19.648ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Réciproquement, tout triangle <i>ABC</i> vérifiant l'égalité précédente est un triangle rectangle en <i>C</i>.

</p>

<p>Comme un triangle rectangle peut se réaliser comme la moitié d’un rectangle engendré par les deux cathètes, l’aire d’un triangle rectangle est égale à la moitié du produit des longueurs de ces deux côtés.

</p><p>Récriproquement, si l’aire d’un triangle est le produit des longueurs de deux côtés divisé par 2, alors ce triangle est rectangle au sommet commun à ces côtés.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cercle_circonscrit">Cercle circonscrit</h3></div>

<p>Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est à égale distance des trois sommets, c’est-à-dire qu’il est le centre du <a href="Cercle_circonscrit" title="Cercle circonscrit">cercle circonscrit</a>, ou encore que la médiane issue de l’angle droit a pour longueur la moitié de l’hypoténuse<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>Réciproquement, tout point d’un cercle forme un triangle rectangle avec les extrémités d’un diamètre de ce cercle.

</p><p>Cette équivalence peut être vue comme un cas particulier du <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l'angle_inscrit_et_de_l'angle_au_centre" title="Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre">théorème de l'angle au centre</a> : l’angle inscrit est droit si et seulement si l’angle au centre est plat.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hauteurs">Hauteurs</h3></div>

<p>La <a href="Hauteur_d'un_triangle" title="Hauteur d'un triangle">hauteur</a> issue de l'angle droit d'un triangle rectangle possède des propriétés caractéristiques dont l'une apparaît dans les premières pages du livre de <a href="Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">René Descartes</a>, <i><a href="La_G%C3%A9om%C3%A9trie_(Descartes)" title="La Géométrie (Descartes)">La géométrie</a></i>.

</p><p>Dans tout triangle ABC dont H est le pied de la hauteur issue de C.

</p>

<ul><li>Si le triangle est rectangle en C alors<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> :

<ul><li>H appartient à [AB] et CH<sup>2</sup> = HA × HB ;</li>

<li>H appartient à [AB] et AC<sup>2</sup> = AH × AB ;</li>

<li>H appartient à [AB] et BC<sup>2</sup> = BH × AB ;</li>

<li>Réciproquement, un triangle dans lequel l'une de ces quatre propriétés est réalisée est rectangle en C.</li></ul>

<p>Les trois premières propriétés se déduisent de l'observation des trois <a href="Triangles_semblables" title="Triangles semblables">triangles semblables</a> ABC, CBH et ACH. La quatrième consiste à écrire l'aire du triangle rectangle en considérant successivement BC et BA comme base.

</p><p>Les réciproques utilisent les mêmes outils : les premières égalités traduisent des égalités de rapports et la présence d'un angle droit ou d'un angle en commun confirment la présence de triangles semblables, qui sont donc rectangles.

</p><p>L'orthocentre d'un triangle rectangle est de manière évidente le sommet où se trouve l'angle droit.

</p><p>Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit, a une longueur HC égale à la somme des rayons des cercles inscrits respectivement dans le triangle rectangle initial ABC et les deux triangles rectangles délimités par la hauteur. Si on appelle <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> le rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC, <span class="texhtml"><i>r</i><sub>1</sub></span> celui du cercle inscrit dans le triangle AHC, <span class="texhtml"><i>r</i><sub>2</sub></span> celui du cercle inscrit dans le triangle BHC, et <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">h</span> la hauteur <i>CH</i>, on a :

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=r+r_{1}+r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e29dd34d622ddd216d16a4ed3216370ed80ec320.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.373ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h=r+r_{1}+r_{2}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>La hauteur <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">h</span>, les rayons <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span>, <span class="texhtml"><i>r</i><sub>1</sub></span> et <span class="texhtml"><i>r</i><sub>2</sub></span> sont liés par les relations :

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {h}{r_{1}}}={\frac {a}{r}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2956d1075185838c754121afb80f5d6b58a9dbff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:8.103ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {h}{r_{1}}}={\frac {a}{r}}}" loading="lazy"></span> et <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {h}{r_{2}}}={\frac {b}{r}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {h}{r_{2}}}={\frac {b}{r}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a884bc50c67fca170a63d6c9affe0c1570fe49b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.922ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {h}{r_{2}}}={\frac {b}{r}}}" loading="lazy"></span>

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/742bffcbfaac5393c1c9103f3b50a9f67f614bdb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.248ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle r^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>et

</p>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {r_{1}}{b}}={\frac {r_{2}}{a}}={\frac {r}{c}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e7c32e42cf7d7fcbcd6f05e4b7c4e7e37374676.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.96ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {r_{1}}{b}}={\frac {r_{2}}{a}}={\frac {r}{c}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bissectrices_et_cercle_inscrit">Bissectrices et cercle inscrit</h3></div>

<p>Dans tout triangle rectangle, les <a href="Bissectrice#Bissectrices_d'un_triangle" title="Bissectrice">bissectrices</a> se rencontrent en un point O centre du <a href="Cercles_inscrit_et_exinscrits_d'un_triangle" title="Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle">cercle inscrit</a> dans le triangle. Le rayon de ce cercle est égal au demi-périmètre <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> moins l'hypoténuse (voir schéma) soit, avec les notations précédentes :

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {a+b+c}{2}}-c={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0107a9e680cc1c03390afe64f77ae0c45079f8e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:38.71ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {a+b+c}{2}}-c={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}" loading="lazy"></span> .

</p>

</center>

<p>On retrouve le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_japonais_de_Carnot" title="Théorème japonais de Carnot">théorème de Carnot</a>, qui, appliqué au triangle rectangle en C, donne, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> étant le rayon du cercle inscrit, et <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> = <span class=""><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">AB</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">2</span></span></span> celui du cercle circonscrit :

</p>

</p>

</center>

<p>Comme dans tout triangle, le rayon <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> du cercle inscrit est aussi égal à deux fois l'aire du triangle divisée par le périmètre, soit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r={\frac {ab}{a+b+c}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {ab}{a+b+c}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19de0e553bb5b5108443d44ad084b3d0552ca7c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.898ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {ab}{a+b+c}}}" loading="lazy"></span> .

</p><p>Les rayons des <a href="Cercles_exinscrits" class="mw-redirect" title="Cercles exinscrits">cercles exinscrits</a> sont <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{A}={\frac {ab}{-a+b+c}},r_{B}={\frac {ab}{a-b+c}},r_{A}={\frac {ab}{a+b-c}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{A}={\frac {ab}{-a+b+c}},r_{B}={\frac {ab}{a-b+c}},r_{A}={\frac {ab}{a+b-c}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7c73d571aa7cc69c5fcd0255db9ea75eb277db2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:49.98ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle r_{A}={\frac {ab}{-a+b+c}},r_{B}={\frac {ab}{a-b+c}},r_{A}={\frac {ab}{a+b-c}}}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Cas_particuliers">Cas particuliers</h2></div>

<p>Ces triangles sont uniques à similitude près.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangle_isocèle_rectangle"><span id="Triangle_isoc.C3.A8le_rectangle"></span>Triangle isocèle rectangle</h3></div><p>

Le <a href="Demi-carr%C3%A9" title="Demi-carré">demi-carré</a> est un <a href="Triangle_isoc%C3%A8le_rectangle" title="Triangle isocèle rectangle">triangle isocèle rectangle</a>. Ses deux angles aigus mesurent 45°, et le rapport entre son hypoténuse et chacune de ses <a href="Cath%C3%A8te" title="Cathète">cathètes</a> vaut <a href="Racine_carr%C3%A9e_de_deux" title="Racine carrée de deux"><span class="racine">√<span style="border-top:1px solid; padding:0 0.1em;">2</span></span></a>.</p><ul class="gallery mw-gallery-traditional">

<div class="gallerytext">Cas d'une <a href="Hypot%C3%A9nuse" title="Hypoténuse">hypoténuse</a> de longueur <span class="texhtml">√2</span>.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Cas d'une <a href="Hypot%C3%A9nuse" title="Hypoténuse">hypoténuse</a> de longueur 1.</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangle_3-4-5">Triangle 3-4-5</h3></div>

<p>Le triangle 3-4-5 est un triangle dont les côtés mesurent respectivement 3, 4 et 5 unités. Il s’agit du triangle rectangle à côtés entiers avec l’hypoténuse minimale, et le seul triangle dont les longueurs de côtés suivent une progression arithmétique (à un facteur multiplicatif près)<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Cette forme est mise à profit pour obtenir un angle droit à l’aide de la <a href="Corde_%C3%A0_treize_n%C5%93uds" title="Corde à treize nœuds">corde à treize nœuds</a>.

</p><p>On peut remarquer que le rayon de son cercle inscrit est égal à <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1={\frac {3+4-5}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1={\frac {3+4-5}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffeb5761a0e124f2e3aa2d85fa63b3529c891e45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.265ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 1={\frac {3+4-5}{2}}}" loading="lazy"></span> , cercle qui entoure donc un disque d'aire égale à <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangle_de_Kepler">Triangle de Kepler</h3></div>

<p>Le <a href="Triangle_de_Kepler" title="Triangle de Kepler">triangle de Kepler</a> est le seul triangle rectangle dont les longueurs de côtés suivent une progression géométrique. La raison de cette progression est la racine carrée du <a href="Nombre_d'or" title="Nombre d'or">nombre d'or</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Demi-triangle_équilatéral"><span id="Demi-triangle_.C3.A9quilat.C3.A9ral"></span>Demi-triangle équilatéral</h3></div>

<p>Le demi-triangle équilatéral (ou triangle de l'écolier) a pour angles 90°, 60° et 30°. C’est le seul triangle rectangle dont les angles suivent une progression arithmétique car :

</p><p>soient <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =90^{\circ }\geqslant \beta \geqslant \gamma }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =90^{\circ }\geqslant \beta \geqslant \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e88869cf2971e54a964e0b6acb4ced2d4ef65086.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.756ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha =90^{\circ }\geqslant \beta \geqslant \gamma }" loading="lazy"></span> les angles ; on sait que :

</p><p>d'une part, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta +\gamma =90^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta +\gamma =90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd0e5d5076d6be6b43135dd9faf66bc8e9481294.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.912ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta +\gamma =90^{\circ }}" loading="lazy"></span> (1)

</p><p>d'autre part, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }-\beta =\beta -\gamma }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }-\beta =\beta -\gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee0328e5f94d0324067812d57b999d8ad091a0cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.085ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }-\beta =\beta -\gamma }" loading="lazy"></span> , soit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\beta -\gamma =90^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\beta -\gamma =90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d1424c3d2caa20e93499b184a5799ed2251d692.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.075ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2\beta -\gamma =90^{\circ }}" loading="lazy"></span> (2) : condition de progression arithmétique.

</p><p>En ajoutant (1) et (2) on obtient <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\beta =180^{\circ },\beta =60^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\beta =180^{\circ },\beta =60^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b72799ed9ad832a012cecf54eaece75e92139b01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.978ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 3\beta =180^{\circ },\beta =60^{\circ }}" loading="lazy"></span>, puis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =30^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =30^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9831bb1a17aa410983b7c97e9d3cb47175ee101e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.965ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha =30^{\circ }}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Applications">Applications</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Décomposition"><span id="D.C3.A9composition"></span>Décomposition</h3></div>

<p>Tout triangle non plat peut être décomposé en deux triangles rectangles admettant pour côté commun une hauteur interne (par exemple, celle issue d’un sommet d’angle maximal).

</p><p>Ce principe permet de ramener les problèmes de pavages par des polygones à des problèmes de pavage par des triangles rectangles.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Composantes_dans_un_repère_orthonormé"><span id="Composantes_dans_un_rep.C3.A8re_orthonorm.C3.A9"></span>Composantes dans un repère orthonormé</h3></div>

<p>Dans un <a href="Rep%C3%A8re_orthonorm%C3%A9" class="mw-redirect" title="Repère orthonormé">repère orthonormé</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c279db56718556c553ce686767a37f7f328749a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.89ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})}" loading="lazy"></span>, si un point <i>M</i> se projette selon <i>H</i> sur l'axe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,{\vec {\imath }})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,{\vec {\imath }})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e286044d7325f9d2e79b3b774518db2c13facf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.762ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,{\vec {\imath }})}" loading="lazy"></span> et selon <i>I</i> sur l'axe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,{\vec {\jmath }})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,{\vec {\jmath }})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9e4345ec028d08a94e70381728efc25cf0d0864.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,{\vec {\jmath }})}" loading="lazy"></span>, alors <i>OHM</i> et <i>OMI</i> sont des triangles rectangles.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Trigonométrie_dans_le_triangle_rectangle"><span id="Trigonom.C3.A9trie_dans_le_triangle_rectangle"></span>Trigonométrie dans le triangle rectangle</h3></div>

<p>Un triangle rectangle comporte un angle droit et deux <a href="Angle_aigu" title="Angle aigu">angles aigus</a>, du moins en géométrie euclidienne (<a href="Triangle_sph%C3%A9rique" class="mw-redirect" title="Triangle sphérique">sur une sphère</a>, il existe des triangles à deux et même trois angles droits).

</p><p>Deux triangles rectangles ayant un de leurs <a href="Angle" title="Angle">angles</a> non droits égaux sont <a href="Triangle_semblable" class="mw-redirect" title="Triangle semblable">semblables</a> : le rapport de deux des côtés du triangle rectangle ne dépend donc que d'un angle non droit. Cette propriété permet d'introduire les <a href="Fonction_trigonom%C3%A9trique" title="Fonction trigonométrique">fonctions trigonométriques</a> pour un angle aigu non orienté, dont la mesure est, en degré entre 0 et 90° (ou en radians, entre 0 et π/2). Par exemple pour un triangle ABC rectangle en C :

</p>

<ul><li>le <i>cosinus</i> de l'angle α est le rapport du côté de l'angle droit adjacent à α par l'<a href="Hypot%C3%A9nuse" title="Hypoténuse">hypoténuse</a>, soit cos(α) = <i>AC</i>/<i>AB</i> ;</li>

<li>le <i>sinus</i> de l'angle α est le rapport du côté de l'angle droit opposé à α par l'hypoténuse, soit sin(α) = <i>BC</i>/<i>AB</i> ;</li>

<li>la <i>tangente</i> de l'angle α est le rapport du côté de l'angle droit opposé à α par côté de l'angle droit adjacent à α, tan(α) = <i>BC</i>/<i>AC</i>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangle_pythagoricien">Triangle pythagoricien</h3></div>

<p>Un triangle rectangle dont les trois côtés sont mesurés par des nombres entiers (pour une même unité de mesure) est appelé triangle pythagoricien. Par le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore" title="Théorème de Pythagore">théorème de Pythagore</a>, les longueurs des trois côtés d'un triangle pythagoricien fournissent un <a href="Triplet_pythagoricien" title="Triplet pythagoricien">triplet pythagoricien</a>, qui est un triplet de <a href="Entier_naturel" title="Entier naturel">nombres entiers</a> <span class="nowrap">(<i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>)</span> non nuls vérifiant <span class="nowrap"><i>x</i><sup>2</sup> + <i>y</i><sup>2</sup> = <i>z</i><sup>2</sup></span>. Par la réciproque du même théorème, un triplet pythagoricien permet de construire un triangle pythagoricien.

</p><p>En particulier pour tout nombre entier <i>n</i> supérieur ou égal à 3, on peut construire un triangle rectangle dont la longueur d'un côté de l'angle droit est mesurée par ce nombre <i>n</i>, les deux autres côtés étant mesurés par des nombres entiers :

</p>

<ul><li>Si <i>n</i> est un nombre pair, <span class="nowrap"><i>n</i> = 2<i>k</i></span>, il suffit de prendre la longueur de l'autre côté de l'angle droit égale à <span class="nowrap"><i>k</i><sup>2</sup> – 1</span>. L'hypoténuse est alors de longueur égale à <span class="nowrap"><i>k</i><sup>2</sup> + 1</span>.</li>

<li>Si <i>n</i> est un nombre impair, <span class="nowrap"><i>n</i> = 2<i>k</i> + 1</span>, il suffit de prendre la longueur de l'autre côté de l'angle droit égale à <span class="nowrap">2<i>k</i><sup>2</sup> + 2<i>k</i></span>. L'hypoténuse est alors de longueur égale à <span class="nowrap">2<i>k</i><sup>2</sup> + 2<i>k</i> + 1</span>.</li></ul>

<p>On sait décrire plus généralement tous les triplets, et donc tous les triangles, pythagoriciens. <a href="Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Fermat</a> <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat_sur_les_triangles_rectangles" title="Théorème de Fermat sur les triangles rectangles">a démontré</a> qu'aucun de ceux-ci ne pouvait avoir pour aire un <a href="Carr%C3%A9_parfait" title="Carré parfait">carré parfait</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spirale_de_Théodore"><span id="Spirale_de_Th.C3.A9odore"></span>Spirale de Théodore</h3></div>

<p>La spirale de Théodore est constituée d’une suite de triangles rectangles, chacun admettant une cathète de longueur 1 et l’autre définie par l’hypoténuse du triangle précédent. Le triangle initial est isocèle rectangle. La suite des longueurs des hypoténuses est constituée des racines carrées des entiers naturels. Cette spirale est nommée en hommage à <a href="Th%C3%A9odore_de_Cyr%C3%A8ne" title="Théodore de Cyrène">Théodore de Cyrène</a> qui aurait démontré que les racines carrées des premiers entiers (hors carrés parfaits) étaient <a href="Nombre_irrationnel" title="Nombre irrationnel">irrationnelles</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Généralisations"><span id="G.C3.A9n.C3.A9ralisations"></span>Généralisations</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tétraèdre_trirectangle"><span id="T.C3.A9tra.C3.A8dre_trirectangle"></span>Tétraèdre trirectangle</h3></div>

<p>Un <a href="T%C3%A9tra%C3%A8dre" title="Tétraèdre">tétraèdre</a> est dit trirectangle si trois de ses faces sont des triangles rectangles en un même sommet. Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gua" class="mw-redirect" title="Théorème de Gua">théorème de de Gua</a> généralise alors le théorème de Pythagore en stipulant que le carré de l’aire de la dernière face est la somme des carrés des aires des trois autres.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangle_rectangle_sphérique"><span id="Triangle_rectangle_sph.C3.A9rique"></span>Triangle rectangle sphérique</h3></div>

<p>En <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_non_euclidienne" title="Géométrie non euclidienne">géométrie non euclidienne</a>, un triangle rectangle sphérique peut posséder deux ou trois angles droits<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Si on exclut la possibilité que deux sommets soient confondus, un triangle ne peut admettre deux angles droits et un angle nul.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">propriété caractéristique parfois attribuée à <a href="Thal%C3%A8s" title="Thalès">Thalès</a>.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.alloprof.qc.ca/BV/pages/m1286.aspx"><cite style="font-style:normal;">Les relations métriques dans le triangle rectangle</cite></a> », sur <span class="italique">alloprof.qc.ca</span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="BeauregardSuryanarayan1997"><span class="ouvrage" id="Raymond_A._BeauregardE._R._Suryanarayan1997">Raymond A. Beauregard et E. R. Suryanarayan, « <cite style="font-style:normal">Arithmetic triangles</cite> », <i><a href="Mathematics_Magazine" title="Mathematics Magazine">Mathematics Magazine</a></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 70, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 2,‎ <time>1997</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">105–115</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class=" noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.2307/2691431">10.2307/2691431</a></span>, <a href="Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <span class=" noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1448883">1448883</a></span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Arithmetic+triangles&rft.jtitle=Mathematics+Magazine&rft.issue=2&rft.aulast=Beauregard&rft.aufirst=Raymond+A.&rft.au=E.+R.+Suryanarayan&rft.date=1997&rft.volume=70&rft.pages=105%E2%80%93115&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2691431&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle+rectangle"></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Casimir_Pascal1835"><span class="ouvrage" id="Joseph_Casimir_Pascal1835">Joseph Casimir Pascal, <cite class="italique">Cours de géométrie élémentaire</cite>, Bachelier, <time>1835</time>, 367 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=juUGAAAAYAAJ&pg=PA280">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Cours+de+g%C3%A9om%C3%A9trie+%C3%A9l%C3%A9mentaire&rft.pub=Bachelier&rft.au=Joseph+Casimir+Pascal&rft.date=1835&rft.tpages=367&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle+rectangle"></span></span></span>.</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style>

<ul><li><a href="Triangle_acutangle" class="mw-redirect" title="Triangle acutangle">Triangle acutangle</a></li>

<li><a href="Triangle_obtusangle" title="Triangle obtusangle">Triangle obtusangle</a></li>

<li>Triangle rectangle spécial <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Special_right_triangles" class="extiw external" title="en:Special right triangles"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Special right triangles »">(en)</span></a></li>

<li><a href="T%C3%A9tra%C3%A8dre_trirectangle" title="Tétraèdre trirectangle">Tétraèdre trirectangle</a></li></ul>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la géométrie</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>